sobota 18. srpna 2012

Nekonečno potíží.

Nekonečno. Je veliké. Je obrovské. Je nekonečné. A je velmi snadné při pokusech o argumentaci s jeho pomocí spadnout po krk do hnoje. Taky nekonečného.

Podívejme se tedy konečně, jak je na tom nekonečno. Máme na to ovšem jenom konečné množství času a konečný prostor na blogu, podíváme se tedy jenom na pár základních druhů nekonečna. A protože jsem člověk silně vizuálně založený, zredukuji problém nekonečna na něco, co lze vizualizovat - na pár základních geometrických problémů.

Nejjednodušším příkladem geometrického nekonečna je kružnice. Tedy ona na pohled nekonečná nevypadá. Představíme-li si kružnici jako jednorozměrný vesmír, má tento vesmír konečnou délku, kterou lze změřit tak, že si vyznačíte jeden bod a pak cestujete stále stejným směrem a měříte ušlou vzdálenost tak dlouho, až se na ten bod znovu vrátíte. Takový vesmír je konečný i nekonečný zároveň - můžete neustále cestovat jedním směrem a nikdy nedorazíte "na konec", ale můžete jej změřit. Kromě toho tato jednorozměrná křivka ohraničuje konečně velkou plochu v nadřazeném, druhém rozměru. Ale obecně nic moc zajímavého, kružnice je kružnice, vejde se vám celá do zorného pole a i do hlavy. A když ji začnete sekat na kousky, skončíte s konečným množstvím konečně velkých výseků, ze kterých můžete sestavit (bez deformací) jenom zpátky původní kružnici. Nic neobvyklého.

Druhým příkladem geometrického nekonečna je přímka. Ta už je skutečně nekonečná, tak nekonečná, že se nevejde celá na stránku a vejde se sem jenom její kousek - úsečka. Okem jí neobsáhnete a do hlavy se vám taky nevejde. Představíte-li si přímku coby jednorozměrný vesmír, tak nejenže při cestování jedním směrem nikdy nedorazíte na konec, ale ani se nevrátíte na svůj původní výchozí bod, a to bez ohledu na to, kde začnete a kterým směrem se vydáte. Přímku nikdy nezměříte. Nadřazený druhý rozměr nám přímka dělí na dvě poloviny, rovněž nekonečné. Ale opravdu zajímavé to začne být, když přímku začnete sekat na kousky. Když přímku rozdělíte na poloviny, skončíte se dvěma polopřímkami. Logika věcí tedy říká, že polopřímka je polovinou přímky. Ale polopřímka je rovněž nekonečná, stejně jako přímka. Je ovšem nekonečná pouze v jednom směru - čili už záleží na tom, kam se ze svého výchozího bodu vydáte - zatímco v jednom směru dorazíte někdy na konec, ve druhém směru žádný nikdy nebude. Zdálo by se ale, že je polopřímka sice nekonečně dlouhá, ale je to nekonečno poloviční proti přímce. Jenže co když takovou (polo)přímku rozdělíte na nekonečno malých kousků  - úseček? Je přeci nekonečně dlouhá, bylo by možné to udělat. A můžete pak ty úsečky slepit dohromady za sebou a získat zpět původní přímku. Ale nejen to. Máte-li k dispozici nekonečno úseček, můžete z nich poslepovat nejen původní přímku, ale dvě přímky. Co dvě přímky, nekonečno přímek! A z těch si můžete poskládat rovinu, kde původní nekonečná přímka by byla jenom podmnožinou. * Ejhle, nekonečno děleno nekonečno krát nekonečno nám dalo úplně jiné nekonečno nekonečně krát větší než to první nekonečno, s nímž jsme začali. A z jednorozměrného nekonečného vesmíru jsme vytvořili vesmír dvojrozměrný, v němž už se můžete vydat ne jen dvěma směry, ale nekonečnem směrů, a nikdy neskončíte na původním bodě a nikdy nedorazíte na konec.* A tím podivnosti zdaleka nekončí, protože rovinu lze rozložit na nekonečně přímek a ty poskládat do plného, třírozměrného prostoru, nekonečného ve všech směrech... A dál už se s lidskou představivostí nedostaneme, protože na víc jak tři rozměry už běžný lidský mozek nereflektuje aniž by mu začala prokluzovat kolečka. Alespoň ten můj tedy rozhodně ne.

Stále ještě ale nejsou geometrická nekonečna vyčerpána. Jedno z nich si lze - alespoň jeho části - nakreslit na čtverečkovaný papír. Vyplňte nejprve čtvereček o např. 9 čtverečků dlouhé hraně. Pak nad každou hranu vzniklého čtverce nakreslete doprostřed přilehlý čtverec o hraně dlouhé jako jedna třetina prvního čtverce. A nad každou hranu vzniklého tvaru nakreslete znovu čtverec o hraně jedné třetiny atd. atp - prvních pět kroků znázorňuje ilustrace vpravo. S každým krokem zjistíte, že se výsledek se více a více blíží čtverci opsanému tomu původnímu, čili čtverci, jehož hrana je dlouhá jako násobek hrany prvního čtverce odmocninou dvou a jehož obsah je tudíž dvojnásobkem obsahu původního čtverce. A kdybyste výše uvedený postup zopakovali nekonečněkrát, tak skutečně tento čtverec nakonec dostanete. Čili byste tímto postupem potřebovali nekonečně mnoho kroků k tomu, abyste získali konečně velký výsledek s konečně velkou plochou - vítejte do světa fraktálů, jichž je tento jeden z nejjednodušších příkladů. Motá se vám hlava? Klid, bude hůř.

Začnete-li místo se čtvercem s rovnostranným trojúhelníkem, a nebudete jej vykreslovat, ale jen črtat vnější konturu a vnitřní odstraňovat, získáte tvar známý pod jménem Kochova vločka (Koch snowflake - na obrázek můžete kliknout pro zvětšní). Kochova vločka je v podstatě lineární křivka. Je podobná kružnici v tom, že v nadřazeném druhém rozměru ohraničuje konečně velkou plochu (její obsah je osm pětin obsahu původního trojúhelníku). Ale to, že je tato plocha konečná je evidentní i bez matematických důkazů - ta vločka se vejde celá do zorného pole, vždyť ji vidíte. Problém je ale v tom, že ve skutečnosti je obvod Kochovy vločky nekonečný, a v tomto ohledu je podobný přímce. Ale současně je jiný než přímka. Na přímce je vzdálenost mezi kterýmikoli dvěma body konečná - je to úsečka. Na Kochově vločce je ale vzdálenost mezi kterýmikoli dvěma body nekonečná! Byla-li by tedy Kochova vločka jednorozměrným vesmírem analogicky k tomu, jak jsme to uvažovali u kružnice a přímky, nebylo by cestování po ní vůbec možné - ať se vydáte kterýmkoliv ze dvou možných směrů, nehnete se z místa. Jakmile začnete sekat Kochovu vločku na kusy, můžete jí poskládat zpátky, můžete ale poskládat zpátky libovolné množství různě velkých Kochových vloček, z nichž každá bude mít nekonečný obvod a bude ohraničovat konečnou plochu - ale všechny vločky, které takto poskládáte, budou úhrnně ohraničovat vždy plochu menší, než byla plocha té původní vločky, a to i kdybyste jich složili nekonečno. Vítejte v zemi za zrcadlem.

Jak vidíte, není to vůbec žádná jednoduchá záležitost. Nekonečno je jen jedno slovo, ale může značit nekonečno diametrálně odlišných věcí. Chce-li tedy někdo argumentovat s tím, že je-li vesmír nekonečný, chová se tak a onak, musí si uvědomit, že otázka není jen je-li vesmír nekonečný, ale i jak je nekonečný. To už je ovšem otázka, jíž radši ponechávám kosmologům a fyzikům k hloubání. Z toho mála, co jsem o této problematice pochopil já, tak je vesmír patrně nekonečný ve třech rozměrech analogicky jako přímka v jednom - tzn. můžete se vydat kterýmkoli směrem, cestovat do nekonečna a nikdy se nevrátíte na původní místo. Ovšem vesmír není nekonečný v čase - je starý jen třináct a půl miliardy let a předtím není žádné předtím. To znamená, mimo jiné, že i je-li vesmír nekonečný, je rozdělený na nekonečně mnoho konečných úseků  s poloměrem třináct a půl miliardy světelných let a tyto úseky se chovají - díky limitu rychlosti světla - samy o sobě jako de fakto separátní vesmíry.

A tady už nekonečno navazuje na statistiku a počet pravděpodobnosti a i na Gaussovu křivku. O tom snad zase někdy příště.
_________________________

* Jak v komentářích ukázala Medea, z tohoto nekonečna přímek rovinu sestavit nelze. Rovinu lze sestavit pouze z tzv. nepočitatelného nekonečna přímek, čili z takové množiny přímek, již lze přiřadit všem reálným číslům. Hezky tento rozdíl popisuje video na youtube, které jsem před napsáním článku shlédl, ale stejně mi to nedošlo. Rozdělením jedné přímky vznikne pouze počitatelné nekonečno přímek, kde lze jednotlivé přímky přiřadit pouze jednotlivým celým číslům.

Zde je to video: 
Budiž to důkazem, jak snadno se lze dopustit zásadní chyb v úvaze, když člověk vybruslí na led, s nímž není důkladně obeznámen - i když se obeznámit nejprve zkusí.

12 komentářů:

  1. Ondřej Justin Horák19. srpna 2012 1:13

    Vida, já jsem právě myslel, že vesmír je nekonečný podobně jako kružnice - tj. že můžete cestovat stále dál a dál, ale nakonec se dostanete tam, odkud jste vyšel.

    Mate mě hlavně to, že kdyby byl vesmír nekonečný tak jako přímka, pak by si podle mě musely být všecky atomy od sebe vzdáleny nekonečně daleko...

    Doufám, že někdo tu objasní, jak to ve skutečnosti je:)

    OdpovědětVymazat
  2. Přečtěte si článek ještě jednou :) Vesmír je nekonečný analogicky k přímce právě protože jsou všechny objekty v něm od sebe konečně daleko. Na přímku nelze vyznačit dva body, které by od sebe neměly konečnou vzdálenost. Aby všechny atomy od sebe mohly být vzdáleny nekonečně daleko, musel by vesmír být nekonečný fraktálově, čili analogicky ke Kochově vločce.

    A z toho, co vím, se skutečně zjišťovalo, jestli je vesmír otevřený jako přímka nebo uzavřený jako kružnice. Podle výzkumu mikrovlnného pozadí to vypadá ale, že je otevřený. Ovšem já nejsem kosmolog, svoje znalosti čerpám z toho mála, co jsem vyčetl na internetu.

    Hezky to shrnuje přednáška Lawrence Krausse "A Universe From Nothing". Pokud umíte anglicky, doporučuji.

    http://youtu.be/7ImvlS8PLIo

    OdpovědětVymazat
  3. Charly: “Jenže co když takovou
    (polo)přímku rozdělíte na nekonečno malých kousků – úseček?
    … Máte-li k dispozici
    nekonečno úseček, můžete z nich poslepovat nejen
    původní přímku, ale dvě přímky. Co dvě přímky, nekonečno přímek! A z těch si můžete poskládat
    rovinu, kde původní nekonečná přímka by byla jenom podmnožinou.”

    Vaša úvaha je chybná:

    Ak rozdelíte priamku na nekonečne mnoho (nedegenerovaných) úsečiek, potom týchto úsečiek bude spočítateľne mnoho,

    ak by ste z nich mohli poskladať rovinu, tak ako tvrdíte, potom by rovina bola zjednotením spočítateľne mnoho úsečiek,

    ale úsečka má dvojrozmernú Lebesgueovu mieru 0, teda aj samotná rovina by potom musela mať dvojrozmernú Lebesgueovu mieru rovnú 0,

    ale rovina má dvojrozmernú Lebesgueovu mieru rovnú nekonečnu, preto je Vaša úvaha chybná.

    Keby ste však priamku “rozbili” na jednotlivé body, potom by ste z nich už mohli “poskladať” rovinu a nielen rovinu, ale aj ľubovoľný n-rozmerný euklidovský priestor R^n, pretože množina bodov na priamke má mohutnosť kontinua.

    Charly: “A tím podivnosti
    zdaleka nekončí, protože rovinu lze rozložit na
    nekonečně přímek a ty poskládat do plného, třírozměrného prostoru,”

    Áno, to je pravda, pretože rovinu môžete disjunktne rozložiť na kontinuum rovnobežiek a ja len doplním, že z týchto rovnobežiek môžete poskladať aj viacrozmerný euklidovský priestor, pretože pre každý takýto priestor existuje disjunktný rozklad na kontinuum priamok.

    ***

    Charly: “Nejjednodušším příkladem geometrického
    nekonečna je kružnice.
    … A když ji začnete sekat na kousky, skončíte s konečným množstvím konečně velkých
    výseků,


    Nie vždy, pretože kružnicu môžete rozsekať aj na nekonečne mnoho oblúkov. Množina týchto oblúkov bude samozrejme spočítateľná.

    Kružnicu môžete sekať napríklad takto: pol-kružnica, štvrť-kružnica, osmina kružnice, 1/16 kružnice, … .

    ***

    Charly: “Chce-li tedy někdo
    argumentovat s tím, že je-li vesmír nekonečný, chová se tak a onak, musí si uvědomit,
    že otázka není jen je-li vesmír nekonečný, ale i jak je nekonečný.


    Vesmír (časopriestor, priestor) je modelovaný vo fyzike ako súvislá n-rozmerná varieta a takáto varieta obsahuje kontinuum bodov, teda inak povedané: bodové udalosti časopriestoru alebo body priestoru sa dajú jednojednoznačne očíslovať reálnymi číslami. Ak si vesmír (časopriestor, priestor) rozdelíme na bunky s navzájom disjunktným vnútrom, potom týchto buniek bude nanajvýš spočítateľne mnoho, inak povedané: tieto bunky sa dajú očíslovať prirodzenými číslami.

    OdpovědětVymazat
  4. Ešte poznámka:

    akýkoľvek systém podmnožín R^n s neprázdnym vnútrom, pričom každé dva rôzne prvky tohoto systému majú disjunktné vnútra, je nanajvýš spočítateľný.

    A to samozrejme neplatí len pre R^n, ale aj pre ľubovoľný separabilný topologický priestor.

    Tento poznatok som aplikovala aj v prípade "sekania" priamky na (nedegenerované) úsečky, ktorý ste spomínali vo Vašom článku.

    OdpovědětVymazat
  5. Zajímavé. Co se týče toho dělení přímky, tak to trochu nechápu, ale to mohou být jenom limity mého mozku. Jak může být nekonečno úseček spočítatelné? Můžete mne odkázat na nějaký zdroj, kde je vysvětlení pro blbečky? Já si tyhle příklady nevycucal z palce, ale četl jsem je, bohužel nevím, kde a kdy, jenom se mi to uhnízdilo v mozku.

    Bylo to nějak takhle: Když rozdělíte přímku na stejně dlouhé úseky (nekonečno úseků) pak můžete složit dvě přímky tak, že z lichých úseků spojíte jednu přímku a ze sudých druhou. Opakováním tohoto postupu nekonečněkrát lze získat nekonečně přímek. Nekonečno paralelních přímek pak dá dohromady rovinu. Průsečík dvou rovin je pak zase přímka. Pokud ne, budu rád za vysvětlení, popřípadě za odkaz na něj.

    Co se týče dělení kružnice, ano, souhlasím, že Vaším způsobem by bylo možné rozdělit kružnici na nekonečno obloučků, jejichž úhrnná délka bude nakonec konečná. Je to vlastně reverze příkladu se čtvercem, který uvádím jako třetí příklad.

    Ale víceméně podtrhujete pointu článku - nekonečno není banální záležitost a je velmi, velmi snadné pro laika se zásadně seknout.

    Pro přehlednost, prosím, používejte tak blockquote pro to, co citujete.

    OdpovědětVymazat
  6. Teď přiznávám bez mučení, že nevím, která bije a o čem mluvíte. To neznamená, že nemáte pravdu, ale znamená to, že já nejsem schopen to posoudit, polemizovat s tím, nebo se z toho alespoň poučit. U toho to asi i nechám, protože už jsem dávno vzdal snahu rozumět všemu do podrobna.

    OdpovědětVymazat
  7. Charly: "Jak může být nekonečno úseček spočítatelné?"

    Množina je spočítateľná práve vtedy keď je rovnomohutná s množinou prirodzených čísel, teda keď sa jej prvky dajú očíslovať číslamy: 1, 2, 3, ... . Teda vo Vašom príklade máte úsečky U1, U2, U3, ... .

    Charly: "Když rozdělíte přímku na stejně dlouhé úseky (nekonečno úseků) pak můžete složit dvě přímky tak, že z lichých úseků spojíte jednu přímku a ze sudých druhou. Opakováním tohoto postupu nekonečněkrát lze získat nekonečně přímek."

    Áno, dá sa takto získať nekonečne veľa priamok, ale bude ich len spočítateľne mnoho, teda budete mať priamky P1, P2, P3, ... , ale na to aby ste dostali rovinu potrebujete kontinuum paralelných priamok, teda toľko priamok koľko je reálnych čísel. Množina reálnych čísel má väčšiu mohutnosť ako mnoźina prirodzených čísel.

    OdpovědětVymazat
  8. Už mi to seplo a chápu, kam míříte.

    Ještě otázka: Není náhodou možné z počitatelného nekonečna udělat nepočitatelné? Vybavuji si něco o tom, že z prvků počitatelného nekonečna jde vytvořit nekonečně mnoho kombinací (množin). Z těch opět nekonečně mnoho množin množin atp. A při nekonečném počtu kombinací získáte nepočitatelné nekonečno?

    Intuitivně - a tudíž uznávám možná špatně - mám pocit, že by to mělo fungovat. Například tak, že vezmete ono nekonečno paralelních přímek a rozdělíte je na dvě skupiny. Liché necháte stát, a sudé pootočíte o jeden radián. Pak opět rozdělíte obě vzniklé množiny stejným způsobem, sudé necháte, liché otočíte. Protože radián je iracionální číslo, při nekonečném množství iterací by měla vzniknout rovina kontinální ve všech směrech.

    Pokud je ve vašich silách sestavit matematický důkaz/vyvrácení této úvahy, můžete vyniknout. Budu za to rád, i když to nepochopím.

    OdpovědětVymazat
  9. Ak máte ľubovoľnú množinu X, tak potom jej potencia P(X) (t.j. množina všetkých jej podmnožín) má väčšiu mohutnosť ako pôvodná X (dá sa to veľmi ľahko ukázať pomocou tzv. Cantorovej diagonálnej metódy).

    Teda aj k množine prirodzených čísel N={1, 2, 3, 4, ...} ľahko nájdete množinu s väčšou mohutnosťou, teda množinu nespočítateľnú, stačí si vziať jej potenciu P(N). No a P(N) je rovnomohutná s množinou reálnych čísel R. Kardinálu R sa inak hovorí mohutnosť kontinua.

    K tým priamkam:
    Stále tam máte spočítateľne mnoho priamok - P1, P2, P3, ... . Lebesgueova dvojrozmerná miera má v rovine (v priestore R^2) význam plošného obsahu, teda Lebesgueova miera trojuholníka sa rovná obsahu trojuholníka, Lebesgueova miera kruhu sa rovná obsahu kruhu a Lebesgueova miera úsečky alebo priamky je 0. Celá rovina má Lebesgueovu mieru nekonečno. Označme si spomínanú Lebesgueovu dvojrozmernú mieru v R^2 ako L. Vaše priamky P1, P2, P3, ...(a takisto aj úsečky) nemôžu pokryť celú rovinu, pretože L(P1)+L(P2)+L(P3)+ ... = 0+0+0+... = 0 ale L(R^2) = NEKONEČNO. Ak chcete pokryť rovinu priamkami alebo úsečkami potrebujete ich nespočítateľne mnoho.

    OdpovědětVymazat
  10. V predošlom dôkaze tvrdenia, že postupnosť priamok nemôže pokryť rovinu, som využívala fakt, že spočítateľné zjednotenie množín s mierou 0 je opäť množina miery 0. Ešte Vám sem dám jeden geometricky elementárnejší dôkaz, v ktorom miera vôbec nevystupuje.

    Tvrdenie: Nech P_1, P_2, P_3, ... je postupnosť priamok v rovine S, potom postupnosť P_1, P_2, P_3, ... nepokrýva rovinu S.

    Dôkaz Tvrdenia:

    Zvoľme si v rovine S ľubovoľnú pevnú priamku T. Každá priamka P_i z našej postupnosti zviera s priamkou T uhol ALFA_i, pričom ALFA_i leží v intervale [0, PI) (PI je Ludolfovo číslo).

    Množina A = {ALFA_1, ALFA_2, ALFA_3, ...} je zrejme spočítateľná množina, ale interval [0, PI) má mohutnosť kontinua, teda v [0, PI) existuje ALFA, ktoré nie je prvkom A.

    Zvoľme si v rovine S pevnú priamku P, ktorá s priamkou T zviera uhol ALFA. Zrejme P nie je rovnobežná so žiadnou priamkou P_i z našej postupnosti, pretože ALFA sa nerovná ALFA_i, teda P pretína každú priamku P_i práve v jednom bode b_i.

    Množina B = {b_1, b_2, b_3, ...} je spočítateľná podmnožina P, ale priamka P má mohutnosť kontinua, teda existuje na P bod b, ktorý nie je prvkom B a teda nie je ani prvkom žiadnej priamky P_i, preto postupnosť priamok P_1, P_2, P_3, ... nepokrýva rovinu S.
    QED

    OdpovědětVymazat
  11. Ešte nejaké poznámky k predošlému dôkazu:

    Spomínané uhly, ktoré naše priamky zvierali s priamku T sa pochopiteľne merajú v jednej pevnej polrovine s hranicou T, teda pod uhlom sa v dôkaze myslia buď uhly polpriamok a T, pričom polpriamky boli vyseknuté spomínanou polrovinou z našich priamok, alebo v prípade rovnobežnosti priamky s priamkou T je veľkosť uhla rovná 0. Takže veľkosti uhlov sú v spomínanom intervale [0, PI). V prípade potreby si nakreslite (alebo predstavte) obrázok ;)

    Napísala som: "Množina B = {b_1, b_2, b_3, ...} je spočítateľná podmnožina P" tu chcem upozorniť, že existuje istá terminologická dvojznačnosť, niektorí matematici označujú za spočítateľnú každú množinu, ktorá sa dá vložiť do množiny prirodzených čísel N, iní len také množiny, ktoré sú rovnomohutné s N. Ak sa Vám páči druhá definícia, tak si v mnou citovanej vete nahraďte "spočítateľná podmnožina" slovným spojením "nanajvýš spočítateľná podmnožina".

    OdpovědětVymazat
  12. Okidoki. Článek jsem opravil, takhle by to snad mělo být v pořádku. Děkuji za komentáře.

    OdpovědětVymazat