sobota 18. srpna 2012

Nekonečno potíží.

Nekonečno. Je veliké. Je obrovské. Je nekonečné. A je velmi snadné při pokusech o argumentaci s jeho pomocí spadnout po krk do hnoje. Taky nekonečného.

Podívejme se tedy konečně, jak je na tom nekonečno. Máme na to ovšem jenom konečné množství času a konečný prostor na blogu, podíváme se tedy jenom na pár základních druhů nekonečna. A protože jsem člověk silně vizuálně založený, zredukuji problém nekonečna na něco, co lze vizualizovat - na pár základních geometrických problémů.

Nejjednodušším příkladem geometrického nekonečna je kružnice. Tedy ona na pohled nekonečná nevypadá. Představíme-li si kružnici jako jednorozměrný vesmír, má tento vesmír konečnou délku, kterou lze změřit tak, že si vyznačíte jeden bod a pak cestujete stále stejným směrem a měříte ušlou vzdálenost tak dlouho, až se na ten bod znovu vrátíte. Takový vesmír je konečný i nekonečný zároveň - můžete neustále cestovat jedním směrem a nikdy nedorazíte "na konec", ale můžete jej změřit. Kromě toho tato jednorozměrná křivka ohraničuje konečně velkou plochu v nadřazeném, druhém rozměru. Ale obecně nic moc zajímavého, kružnice je kružnice, vejde se vám celá do zorného pole a i do hlavy. A když ji začnete sekat na kousky, skončíte s konečným množstvím konečně velkých výseků, ze kterých můžete sestavit (bez deformací) jenom zpátky původní kružnici. Nic neobvyklého.

Druhým příkladem geometrického nekonečna je přímka. Ta už je skutečně nekonečná, tak nekonečná, že se nevejde celá na stránku a vejde se sem jenom její kousek - úsečka. Okem jí neobsáhnete a do hlavy se vám taky nevejde. Představíte-li si přímku coby jednorozměrný vesmír, tak nejenže při cestování jedním směrem nikdy nedorazíte na konec, ale ani se nevrátíte na svůj původní výchozí bod, a to bez ohledu na to, kde začnete a kterým směrem se vydáte. Přímku nikdy nezměříte. Nadřazený druhý rozměr nám přímka dělí na dvě poloviny, rovněž nekonečné. Ale opravdu zajímavé to začne být, když přímku začnete sekat na kousky. Když přímku rozdělíte na poloviny, skončíte se dvěma polopřímkami. Logika věcí tedy říká, že polopřímka je polovinou přímky. Ale polopřímka je rovněž nekonečná, stejně jako přímka. Je ovšem nekonečná pouze v jednom směru - čili už záleží na tom, kam se ze svého výchozího bodu vydáte - zatímco v jednom směru dorazíte někdy na konec, ve druhém směru žádný nikdy nebude. Zdálo by se ale, že je polopřímka sice nekonečně dlouhá, ale je to nekonečno poloviční proti přímce. Jenže co když takovou (polo)přímku rozdělíte na nekonečno malých kousků  - úseček? Je přeci nekonečně dlouhá, bylo by možné to udělat. A můžete pak ty úsečky slepit dohromady za sebou a získat zpět původní přímku. Ale nejen to. Máte-li k dispozici nekonečno úseček, můžete z nich poslepovat nejen původní přímku, ale dvě přímky. Co dvě přímky, nekonečno přímek! A z těch si můžete poskládat rovinu, kde původní nekonečná přímka by byla jenom podmnožinou. * Ejhle, nekonečno děleno nekonečno krát nekonečno nám dalo úplně jiné nekonečno nekonečně krát větší než to první nekonečno, s nímž jsme začali. A z jednorozměrného nekonečného vesmíru jsme vytvořili vesmír dvojrozměrný, v němž už se můžete vydat ne jen dvěma směry, ale nekonečnem směrů, a nikdy neskončíte na původním bodě a nikdy nedorazíte na konec.* A tím podivnosti zdaleka nekončí, protože rovinu lze rozložit na nekonečně přímek a ty poskládat do plného, třírozměrného prostoru, nekonečného ve všech směrech... A dál už se s lidskou představivostí nedostaneme, protože na víc jak tři rozměry už běžný lidský mozek nereflektuje aniž by mu začala prokluzovat kolečka. Alespoň ten můj tedy rozhodně ne.

Stále ještě ale nejsou geometrická nekonečna vyčerpána. Jedno z nich si lze - alespoň jeho části - nakreslit na čtverečkovaný papír. Vyplňte nejprve čtvereček o např. 9 čtverečků dlouhé hraně. Pak nad každou hranu vzniklého čtverce nakreslete doprostřed přilehlý čtverec o hraně dlouhé jako jedna třetina prvního čtverce. A nad každou hranu vzniklého tvaru nakreslete znovu čtverec o hraně jedné třetiny atd. atp - prvních pět kroků znázorňuje ilustrace vpravo. S každým krokem zjistíte, že se výsledek se více a více blíží čtverci opsanému tomu původnímu, čili čtverci, jehož hrana je dlouhá jako násobek hrany prvního čtverce odmocninou dvou a jehož obsah je tudíž dvojnásobkem obsahu původního čtverce. A kdybyste výše uvedený postup zopakovali nekonečněkrát, tak skutečně tento čtverec nakonec dostanete. Čili byste tímto postupem potřebovali nekonečně mnoho kroků k tomu, abyste získali konečně velký výsledek s konečně velkou plochou - vítejte do světa fraktálů, jichž je tento jeden z nejjednodušších příkladů. Motá se vám hlava? Klid, bude hůř.

Začnete-li místo se čtvercem s rovnostranným trojúhelníkem, a nebudete jej vykreslovat, ale jen črtat vnější konturu a vnitřní odstraňovat, získáte tvar známý pod jménem Kochova vločka (Koch snowflake - na obrázek můžete kliknout pro zvětšní). Kochova vločka je v podstatě lineární křivka. Je podobná kružnici v tom, že v nadřazeném druhém rozměru ohraničuje konečně velkou plochu (její obsah je osm pětin obsahu původního trojúhelníku). Ale to, že je tato plocha konečná je evidentní i bez matematických důkazů - ta vločka se vejde celá do zorného pole, vždyť ji vidíte. Problém je ale v tom, že ve skutečnosti je obvod Kochovy vločky nekonečný, a v tomto ohledu je podobný přímce. Ale současně je jiný než přímka. Na přímce je vzdálenost mezi kterýmikoli dvěma body konečná - je to úsečka. Na Kochově vločce je ale vzdálenost mezi kterýmikoli dvěma body nekonečná! Byla-li by tedy Kochova vločka jednorozměrným vesmírem analogicky k tomu, jak jsme to uvažovali u kružnice a přímky, nebylo by cestování po ní vůbec možné - ať se vydáte kterýmkoliv ze dvou možných směrů, nehnete se z místa. Jakmile začnete sekat Kochovu vločku na kusy, můžete jí poskládat zpátky, můžete ale poskládat zpátky libovolné množství různě velkých Kochových vloček, z nichž každá bude mít nekonečný obvod a bude ohraničovat konečnou plochu - ale všechny vločky, které takto poskládáte, budou úhrnně ohraničovat vždy plochu menší, než byla plocha té původní vločky, a to i kdybyste jich složili nekonečno. Vítejte v zemi za zrcadlem.

Jak vidíte, není to vůbec žádná jednoduchá záležitost. Nekonečno je jen jedno slovo, ale může značit nekonečno diametrálně odlišných věcí. Chce-li tedy někdo argumentovat s tím, že je-li vesmír nekonečný, chová se tak a onak, musí si uvědomit, že otázka není jen je-li vesmír nekonečný, ale i jak je nekonečný. To už je ovšem otázka, jíž radši ponechávám kosmologům a fyzikům k hloubání. Z toho mála, co jsem o této problematice pochopil já, tak je vesmír patrně nekonečný ve třech rozměrech analogicky jako přímka v jednom - tzn. můžete se vydat kterýmkoli směrem, cestovat do nekonečna a nikdy se nevrátíte na původní místo. Ovšem vesmír není nekonečný v čase - je starý jen třináct a půl miliardy let a předtím není žádné předtím. To znamená, mimo jiné, že i je-li vesmír nekonečný, je rozdělený na nekonečně mnoho konečných úseků  s poloměrem třináct a půl miliardy světelných let a tyto úseky se chovají - díky limitu rychlosti světla - samy o sobě jako de fakto separátní vesmíry.

A tady už nekonečno navazuje na statistiku a počet pravděpodobnosti a i na Gaussovu křivku. O tom snad zase někdy příště.
_________________________

* Jak v komentářích ukázala Medea, z tohoto nekonečna přímek rovinu sestavit nelze. Rovinu lze sestavit pouze z tzv. nepočitatelného nekonečna přímek, čili z takové množiny přímek, již lze přiřadit všem reálným číslům. Hezky tento rozdíl popisuje video na youtube, které jsem před napsáním článku shlédl, ale stejně mi to nedošlo. Rozdělením jedné přímky vznikne pouze počitatelné nekonečno přímek, kde lze jednotlivé přímky přiřadit pouze jednotlivým celým číslům.

Zde je to video: 
Budiž to důkazem, jak snadno se lze dopustit zásadní chyb v úvaze, když člověk vybruslí na led, s nímž není důkladně obeznámen - i když se obeznámit nejprve zkusí.

Žádné komentáře:

Okomentovat